Vale a pena retornar ao problema da regra da cadeia com derivadas distribucionais. Vamos considerar o exemplo da função \displaystyle f(x) =\frac{\sin |x|}{x} comentada na aula passada. O primeiro passo, sempre, para que não fique dúvidas, é inspecionar o gráfico da função, que vai abaixo. (Esse gráfico está no T2 de 2017.)
É evidente que há um salto na origem e, portanto, esperamos uma delta ai. Antes de passarmos ao cálculo da derivada distributiva, convém relembrarmos parte da discussão que foi motivada pela questão do Gustavo. Considerem a função
f(x) = \left\{ \begin{array}{rl}-\frac{\sin x}{x}, & x <0, \\a+\frac{\sin x}{x}, & x > 0.\end{array}\right.
A derivada usual dessa função é
f'(x) = \left\{ \begin{array}{cl}-\left(\frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2} \right), & x <0, \\ \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2} , & x > 0.\end{array}\right.
Como vocês vêm, a derivada não depende de a, ou, em palavras, a derivada usual não tem informação sobre a amplitude do salto. A pergunta que colocamos em sala foi: dada essa derivada usual, podemos integrá-la e obter uma f(x) ? A resposta é, claramente, sim. Que função obteríamos? Bem, isso vai depender de algumas hipóteses extras. Primeiro, sabemos que essa pergunta sempre é respondida a menos de uma constante que deve ser obtida fixando-se f(x) para algum valor de x . As funções f(x) e f(x) +c, com c constante, sempre têm a mesma derivada. Sempre temos que fixar a constante de integração c com alguma informação sobre f(x). Essa é a única informação que precisamos fixar para obter f(x) a partir de f'(x) ? A resposta é não. Notem que todas as funções neste exemplo não estão definidas em x=0 . Portanto, há uma arbitrariedade aqui. Caso exijamos que f(x) seja contínua, que é uma hipótese extra ao problema, podemos sim obter de maneira única f(x) a partir de f'(x) , a menos da dependência trivial na constante de integração c . Com a hipótese de continuidade em x=0 de f(x) , vamos obter a função que corresponde a a=-1 , convençam-se disso! Sem essa hipótese, não há como “emendar” a solução do lado esquerdo com a do lado direito, como fizemos em sala para um outro exemplo. O que o caso a=-1 tem de especial? É o caso sem salto! Portanto, é o caso em que não perdemos nenhuma informação ao calcularmos a derivada, ao contrário de qualquer outro valor de a\ne -1 , quando vamos ter um salto que não ficará “registrado” na derivada. As derivadas distribucionais são as que “registram” as informações sobre as descontinuidades da função.
Vamos voltar ao problema inicial de determinar a derivada distribucional de \displaystyle f(x) =\frac{\sin |x|}{x} . Há, no mínimo, 3 maneiras diferentes de se representar essa função:
\displaystyle f(x) =\frac{\sin |x|}{x} = \text{sign}\,x \frac{\sin x}{x} = \frac{\sin x}{|x|}
Obviamente, vamos obter a mesma derivada distribucional para as três expressões para f(x). Vamos começar pela que talvez seja a mais simples, a do gabarito do T2 de 2017.
\displaystyle \frac{d f(x)}{dx} = \frac{d }{dx} \left( \text{sign}\,x \frac{\sin x}{x}\right) = 2 \delta(x) + \text{sign}\,x \left(\frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2} \right) \displaystyle= 2 \delta(x) + \frac{ |x|\cos x - \sin |x|}{x^2}
sendo que usamos que \frac{d }{dx} \text{sign}\,x = 2\delta(x) e que \frac{\sin x}{x} , que formalmente não está definida na origem, tem uma extensão continua tal que seu valor é 1 na origem.
Porém, poderíamos ter escolhido outra expressão para a função, por exemplo
\displaystyle \frac{d f(x)}{dx} = \frac{d }{dx} \left(\frac{\sin |x|}{x}\right) = \frac{\cos |x|}{x} \frac{d|x| }{dx} - \frac{\sin |x|}{x^2} \displaystyle =\frac{\cos |x|}{x}\left( \text{sign}\,x + 2x\delta(x)\right)- \frac{\sin |x|}{x^2} = 2 \delta(x) + \text{sign}\,x \left(\frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2} \right)
Aqui, usamos que \cos |x| = \cos x , |x| = x\text{sign}\, x e que \frac{d|x|}{dx} = \text{sign}\,x + 2x\delta(x) . Alguém por objetar aqui: mas não concluímos que x\delta(x) (a “distribuição M”) era zero? Sim, mas aqui não temos essa distribuição, mas ela multiplicada por \frac{\cos x}{x}, vejam com cuidado e lembre-se sempre da construção dos aproximantes.
Temos o último caso
\displaystyle \frac{d f(x)}{dx} = \frac{d }{dx} \left( \frac{\sin x}{|x|}\right) = \frac{\cos x}{|x|} + \sin x \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{|x|}\right)
e agora teremos um problema com o último termo, que imagino ser a principal dúvida naquela questão do T2 de 2017. Se admitirmos, o que é correto, que \displaystyle \frac{1}{|x|} = \frac{\text{sign\,}x}{x} , teremos
\displaystyle \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{|x|}\right)= \frac{d}{dx}\left( \frac{\text{sign\,}x}{x} \right) = \frac{2\delta(x)}{x} - \frac{\text{sign\,}x}{x^2} .
que é o resultado anterior. Porém, poderíamos ter admitido, o que também é perfeitamente correto, que \displaystyle \frac{1}{|x|} = \frac{1}{x \text{sign\,}x}
e nesse caso teríamos
\displaystyle \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{|x|}\right)= \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x\text{sign\,}x} \right) = -\frac{2\delta(x)}{x} - \frac{\text{sign\,}x}{x^2} . 😨
Obtemos o salto com o sinal errado!!!! 😨 Como sabemos que o salto está com o sinal errado? Pois nós sabemos do gráfico da função que o salto é de -1 a 1, confiram!
O que está errado?!?! Bem, o erro está neste passo que foi implicitamente usado:
\displaystyle \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{\text{sign\,}x}\right)= -\frac{1}{(\text{sign\,}x)^2} \frac{d}{dx} \text{sign\,}x = - 2\delta(x)
Como eu sei que esse passo está errado? Como sempre, vamos ver nossos aproximantes. O melhor aproximante pra função sinal (ou pra a de Heaviside) é a tangente hiperbólica
\displaystyle \text{sign\,}x = \lim_{n\to\infty}\tanh nx
Convençam-se que esses aproximantes não suportam a conclusão acima, pois \displaystyle \frac{1}{(\text{sign\,}x)^2} \frac{d}{dx} \text{sign\,}x não está definido na origem. A função sinal, para efeitos distribucionais é definida como \displaystyle \text{sign\,}x = \frac{1}{\text{sign\,}x} e, portanto,
\displaystyle \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{\text{sign\,}x}\right)= \frac{d}{dx} \text{sign\,}x = 2\delta(x) 😀
Que isso sirva de alerta: as propriedades das derivadas distribucionais podem ser bastante traiçoeiras. Na dúvida, sempre apelem aos aproximantes.