Derivadas de delta – Métodos Matemáticos

Como devemos interpretar $\displaystyle \delta'(x^2 -4)$ ? Aparentemente, há dúvidas sobre isso. Lembrando, as derivadas de delta são definidas como

\displaystyle \int \delta'(x) f(x) dx = -\int \delta(x) f'(x) dx

mas no nosso exemplo o argumento da delta é uma função. O que fazer? Bem, devemos fazer uma mudança de variáveis. Vamos introduzir a variável $\displaystyle y = x^2 -4$ e lembrar que quando $x$ percorre a reta real, $y$ vai de $\infty$ a -4 e depois de -4 a $\infty$ . Teremos

\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \delta'(x^2 - 4) f(x) dx = \int_{-4}^\infty \delta'(y) f(-\sqrt{y +4}) \frac{ dy}{2\sqrt{y +4}}+\int_{-4}^\infty \delta'(y) f(\sqrt{y +4}) \frac{ dy}{2\sqrt{y +4}}

Pela definição, teremos

\displaystyle  \int_{-4}^\infty \delta'(y) f(\sqrt{y  +4}) \frac{ dy}{2\sqrt{y +4}} = -\frac{1}{2} \int_{-4}^\infty \delta (y)\frac{d}{dy}\left(\frac{f(\sqrt{y +4})}{ \sqrt{ y+4}}\right)  dy  =  -\frac{1}{2} \int_{-4}^\infty \delta (y)   \left( \frac{f'(\sqrt{y +4})}{2(y+4)} -\frac{f(\sqrt{y +4})}{2\sqrt{y+4}^3}   \right) dy = -\frac{f'(2)}{16} + \frac{f(2)}{32}

de onde o resultado do Wolfram Alpha segue facilmente.

(Post de contribuição do Mr. M).

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