Caras(os),
a constante \gamma de Euler, ou de Euler-Mascheroni (imagino que o Mascheroni tenha sido primeiro a encontrá-la, depois do Euler 😀), aparece em vários contextos. Vamos retomá-la aqui na fórmula de Weierstrass (que de fato é do Euler) para a função gamma. Relembrando, partimos da fórmula de Euler (Ok, Euler-Gauss)
\displaystyle\Gamma(z) = \lim_{n\to \infty } \frac{n!n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}
para z\ne 0,-1,-2,\dots .Vimos em aula o seguinte produto
\displaystyle \prod_{k =1}^n \left( 1+\frac{z}{k}\right)^{-1} = \frac{n!}{(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}
o que nos permite escrever
\displaystyle\frac{1}{\Gamma(z)} = z \lim_{n\to \infty } n^{-z} \prod_{k =1}^n \left( 1+\frac{z}{k}\right)
e seguindo os passos na página 184 do livro, temos a fórmula de Weierstrass
\displaystyle\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z}\lim_{n\to \infty} \prod_{k =1}^n \left( 1+\frac{z}{k}\right) e^{-\frac{z}{k}}
sendo
\displaystyle\gamma = \lim_{n\to \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \log n \right)
a nossa constante em questão. Seu valor numérico é \gamma = 0.57721\dots , veja mais sobre sua história aqui. Porem, mostrar que \gamma é um número entre 0 e 1 é um exercício simples de Cálculo 1. Basta comparar a série harmônica com a função f(x) = 1/x , vejam abaixo
é fácil estabelecer a seguinte desigualdade
\displaystyle\sum_{k=2}^n \frac{1}{k} < \int_{1}^n \frac{dx}{x} = \log n < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
de onde tem-se
\displaystyle 0 < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \log n < 1
de onde temos a relação que procurávamos. Notem que esta desigualdade não é suficiente pra concluir que o limite da definição \gamma existe (por que?). Mas, assumindo que o limite existe, é claro que estará entre 0 e 1.
Finalmente, alguns “exercícios” que podem ser vistos como “simulados” para uma eventual “prova difícil”. Primeiro, o da série de Wallis que comentei hoje. É o exercício 3 da P2 do curso de 2017, vejam aqui as avaliações desse curso. A solução envolve as funções beta e gama.
Uma outra coisa interessante, envolvendo a função gama, é este problema, que foi um problema de Páscoa de um curso antigo de Cálculo II. Por certo, aqui estão todas as avaliações desse curso, talvez vocês achem uteis.