Atendendo a pedidos, segue abaixo uma análise detalhada do problema da equação de Hopf (do surfista!) da P2 da turma especial (ou da P2 do curso de 2017).
A equação é \displaystyle \partial_t v + v\partial_xv = 0, e a ideia é resolvê-la explorando a teoria (de Caratheodory) das curvas características. Bem, a solução dessa EDP é a função v(t,x) , que vamos supor por ora suave. A ideia é considerar essa função como a superfície de nível \phi(t,x,y) = 0 da função \phi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} dada por \phi(t,x,y) = v(t,x) - y. É claro que, por construção, a superfície de nível \phi(t,x,y) = 0 corresponde ao gráfico da função v(t,x) que procuramos.
Notem que a equação de Hopf pode ser escrita como
\displaystyle \underbrace{\left( \hat\imath + v\hat \jmath \right)}_{\vec V}\cdot \nabla\phi = 0,Sabemos que o campo gradiente \nabla \phi é normal as superfícies de nível da função \phi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}. Essa relação nos diz então que o vetor \vec V = \hat\imath + v\hat \jmath deve ser tangente à superfície de nível \phi(t,x,y) = 0.
Considerem agora a curva \Gamma_\tau:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^3 dada por (t(\tau),x(\tau),y(\tau)) , com \tau \in \mathbb{R} . Sabemos que \Gamma_\tau está contida na superfície de nível \phi(t,x,y)=0 se seu vetor tangente for perpendicular a \nabla \phi. Ora, já conhecemos um vetor perpendicular a \nabla \phi, o vetor \vec V. Assim, a curva \Gamma_\tau com vetor tangente
\dot t\hat\imath + \dot x\hat\jmath + \dot y\hat k = \vec V = \hat\imath + v\hat \jmathestá, por construção, contida na superfície de nível que procuramos. Essa curva pode ser facilmente integrada, e teremos
\displaystyle \Gamma_\tau: \quad (t = \tau +t_0,x = v\tau + x_0,y = v = v_0),sendo que já fizemos a substituição y = v(t,x) que vem da definição da superfície de nível. As constantes t_0,x_0, v_0 são constantes de integração e correspondem ao ponto inicial que escolhemos para definir a curva \displaystyle \Gamma_\tau.
Estamos a um passo de resolvermos a equação de Hopf. Com o que temos agora, dada a condição inicial v(t_0,x_0)=v_0, sabemos calcular o valor da solução v(t,x) ao longo da curva \displaystyle \Gamma_\tau. Porém, a solução é uma superfície, não uma curva. É claro que a solução geral requer que escolhamos as condições iniciais (t_0,x_0, v_0) ao longo de uma outra curva tangente a nossa superfície. Quer dizer, devemos ter uma outra curva (t_0(\sigma),x_0(\sigma), v_0(\sigma)), com vetor tangente também ortogonal a \nabla \phi, mas linearmente independente de \vec V. Uma vez especificada essa condição inicial (t_0(\sigma),x_0(\sigma), v_0(\sigma)), com \sigma\in\mathbb{R}, teremos finalmente a solução v(t,x) em forma paramétrica. No nosso caso, a solução é
\displaystyle \Gamma_{\tau,\sigma}: (t(\tau,\sigma) = \tau +t_0(\sigma),x(\tau,\sigma) = v\tau + x_0(\sigma), v(\tau,\sigma) = v_0(\sigma)),Vamos agora especificar a solução para a condição inicial proposta no problema, v(0,x)=g(x) . Devemos escolher as funções (t_0(\sigma),x_0(\sigma), v_0(\sigma)) de maneira adequada. Neste caso, basta escolhê-las como (t_0(\sigma) = 0,x_0(\sigma)=\sigma, v_0(\sigma) = g(\sigma)). Com isto, a representação paramétrica de v(t,x) fica
\displaystyle \Gamma_{\tau,\sigma}: (t(\tau,\sigma) = \tau ,x(\tau,\sigma) = v\tau + \sigma , v(\tau,\sigma) =g(\sigma)),Para obtermos a forma não paramétrica, basta resolver essas equações para \tau,\sigma , e neste caso a solução é muito simples, temos \tau = t e \sigma = x -vt, e a solução final é, na forma implícita,
v = g(x-vt).Para ver porque a equação de Hopf merece o apelido de equação do surfista, veja a solução no site…
Agradecimentos especiais: Mr. M, the surfer, pela autorização de uso da imagem, Mr. R pelos erros apontados, ….