Quando temos \partial_x\partial_y \phi = \partial_y\partial_x\phi ? Bem, este é o conteúdo do chamado Teorema de Schwarz, ou de Clairaut, depende da fonte. Eu recomendo a seção 8.23 do Volume 2 do Apostol, há uma boa discussão lá. O verbete de wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives
também tem referência boas. Essencialmente, o teorema afirma que é suficiente termos \partial_x \phi , \partial_y \phi e \partial_x \partial_y \phi bem definidas em um aberto D\in \mathbb{R}^2 para garantirmos que \partial_y\partial_x \phi exista nesse aberto e, ademais, \partial_x\partial_y \phi = \partial_y\partial_x\phi .
Obviamente, uma função para a qual \partial_x\partial_y \phi \ne \partial_y\partial_x\phi não deve estar coberta pelas condições do teorema. O exemplo de função com \partial_x\partial_y \phi \ne \partial_y\partial_x\phi apresentado na wikipedia é o mesmo do Apostol. Trata-se da função
\phi = \frac{xy^3-x^3y}{x^2+y^2},
para (x,y)\ne (0,0) e \phi = 0 para (x,y) = (0,0). É uma função contínua de duas variáveis, veja seu gráfico aqui, gerado no WolfamAlpha com este comando simples.
Porém, como está no Apostol, temos para esta função \partial_x \phi(0,y) = y e \partial_y \phi(x,0) = -x , de onde conclui-se que \partial_x\partial_y \phi(0,0) = -1 \ne \partial_y\partial_x \phi(0,0) = 1 (mostrem!).
Por que o teorema “falha” neste caso? Pensem…
