Domingo, 7 de Maio de 2006
Liu e Giló: ótimas contribuições
Desta vez, Liu nos preparou um programa em flash capaz de desenhar objetos 3D em perspectiva. Isso é muito interessante. O programa, em flash, está aqui. Um executável, útil para os que não têm a última versão do flash instalado, está aqui. O código fonte, está aqui. (Ainda não entendi muito bem os parâmetros do programa do Liu, mas estou certo que ele nos explicará na próxima aula...)
Uma perspectiva nada mais é do que a projeção de um objecto tridimensional sobre uma superfície, criando uma ilusão de profundidade. Se a superfície é um plano, a perspectiva é dita linear. As perspectivas surgem no mundo ocidental na Renascença italiana. Pode-se facilmente identificar os quadros e pinturas pré-renascentistas; quase sempre, não possuem boas representações espaciais. Leonardo da Vinci foi um dos grandes virtuosos destas técnicas. As perspectivas são fundamentais para o entendimento da visão humana. Cada uma de nossas retinas, superfícies não planas, quase cascas esféricas, registra uma projeção dos objetos que enxergamos. Como nossos olhos estão separados, pequenas diferenças nas duas projeções são registradas. Estas diferenção são interpretadas pelo cérebro, reconstruindo, a partir de duas projeções bi-dimensionais, a noção de profundidade e, conseqüentemente, a imagem tridimensional. Este é o chamado processo da estereópsis, ou visão estéreo. O olho e a visão humana têm fascinado gerações de cientistas. O próprio Darwin admitiu que um dos maiores desafios à sua Teoria da Evolução era propor uma explicação satisfatória para o desenvolvimento do olho humano (ou dos mamíferos, já que são muito semelhantes). O fato é que vários animais, mesmo primitivos, possuem olhos e são capazes de construir imagens tridimensionais através da estereópsis. Estas estórias, assim como várias outras, podem ser encontradas no ótimo A Escalada do Monte Improvável, (por cortesia da amazon.com, dá pra ler algumas páginas do original aqui. A versão brasileira está esgotada.) do grande divulgador científico inglês Richard Dawkins. Os capítulos 35 e 36 do volume 1 das Feynman Lectures on Physics discutem também interessantes aspectos da biofísica da visão. Vale a pena conferir.
É quase impossível falar de perspectivas sem citar o grande artista gráfico holandês M.C. Escher. Várias de suas obras podem ser vistas aqui ou aqui.
Uma outra contribuição notável vem do colega Thiago Allue Dantas, a.k.a. Giló, com "G" mesmo. As soluções apresentadas pelo Giló para o problema da Reta e Euler e do Triângulo Órtico são ótimas. Simples, elegantes e diretas. Estão ambas aqui.
O Liu e o Giló estão de parabéns.
Uma perspectiva nada mais é do que a projeção de um objecto tridimensional sobre uma superfície, criando uma ilusão de profundidade. Se a superfície é um plano, a perspectiva é dita linear. As perspectivas surgem no mundo ocidental na Renascença italiana. Pode-se facilmente identificar os quadros e pinturas pré-renascentistas; quase sempre, não possuem boas representações espaciais. Leonardo da Vinci foi um dos grandes virtuosos destas técnicas. As perspectivas são fundamentais para o entendimento da visão humana. Cada uma de nossas retinas, superfícies não planas, quase cascas esféricas, registra uma projeção dos objetos que enxergamos. Como nossos olhos estão separados, pequenas diferenças nas duas projeções são registradas. Estas diferenção são interpretadas pelo cérebro, reconstruindo, a partir de duas projeções bi-dimensionais, a noção de profundidade e, conseqüentemente, a imagem tridimensional. Este é o chamado processo da estereópsis, ou visão estéreo. O olho e a visão humana têm fascinado gerações de cientistas. O próprio Darwin admitiu que um dos maiores desafios à sua Teoria da Evolução era propor uma explicação satisfatória para o desenvolvimento do olho humano (ou dos mamíferos, já que são muito semelhantes). O fato é que vários animais, mesmo primitivos, possuem olhos e são capazes de construir imagens tridimensionais através da estereópsis. Estas estórias, assim como várias outras, podem ser encontradas no ótimo A Escalada do Monte Improvável, (por cortesia da amazon.com, dá pra ler algumas páginas do original aqui. A versão brasileira está esgotada.) do grande divulgador científico inglês Richard Dawkins. Os capítulos 35 e 36 do volume 1 das Feynman Lectures on Physics discutem também interessantes aspectos da biofísica da visão. Vale a pena conferir.
É quase impossível falar de perspectivas sem citar o grande artista gráfico holandês M.C. Escher. Várias de suas obras podem ser vistas aqui ou aqui.
Uma outra contribuição notável vem do colega Thiago Allue Dantas, a.k.a. Giló, com "G" mesmo. As soluções apresentadas pelo Giló para o problema da Reta e Euler e do Triângulo Órtico são ótimas. Simples, elegantes e diretas. Estão ambas aqui.
O Liu e o Giló estão de parabéns.
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As resoluções do Giló são realmente mto boas!!
Mas e o teorema de Pappus??
Teve algum caso tb de alguma resolução interessante?
Mas e o teorema de Pappus??
Teve algum caso tb de alguma resolução interessante?
No caso do Teorema de Pappus, as únicas provas foram as que seguiram os passos propostos ou as baseadas em geometria projetiva. Estas últimas são muito faceis de se achar na Internet, ao contrário da primeira. Por isso, optei por somente considerar provas por geometria projetiva para os que fossem até a minha sala e expusessem seus raciocínios. O único que apareceu foi o Giló. Digladiou-se bravamente em minha lousa, e não contra mim, que sou bonzinho, mas contra o implacável Rafael Leão, um dos nossos mais terrívels gladiadores matemáticos. O Giló lutou com honra, mas nao deu pra convencer completamente não... Levou só dois pontos na segunda...
Seria legal se o Ian Liu fizesse o programa no qual a gnt pudesse mexer duas retas e 3 pontos em cada reta , mostrando o teorema de Pappus...
Saa, eu estou projetando os pontos da seguinte maneira:
Xp = X / Z
Yp = Y / Z,
onde X, Y e Z sao as coordenadas do ponto no R3 e Xp e Yp no R2.
Assim, se a origem do sistema esta no centro da tela, quanto maior o Z, mais próximo do centro estará o ponto. Mas assim o Z nao poder ser igual a 0 e, na rotação, é muito provavel que isso ocorra, mandando o ponto pro infinito. Entao mudamos a origem do sistema de coordenadas:
Xp = X / (P - Z)
Yp = Y / (P - Z)
Como essa escala é muito pequena em termos de Pixels, multiplicamos o ponto por um numero relativamente grande, ou, o proprio P:
Xp = P*X / (P - Z)
Yp = P*Y / (P - Z)
Se observarmos o comportamento de P, temos que:
Se P -> +Infinito entao,
Xp -> X. Logo, a projeção de um ponto
P(R3) = (a, b, c) é
P(R2) = (a, b)
para P muito grande.
Se P eh um numero nao muito grande em relaçao a Z, entao temos um efeito de perspectiva, pois o Z fara diferença.
O ultimo ajuste vem pelo fato de que a origem do Flash se localiza no canto superior esquerdo da tela, com X orientado à direita e Y para baixo, entao:
Xp = P*X / (P - Z) + TelaLargura/2
Yp = -(P*Y / (P - Z) + TelaAltura/2)
Assim projetamos os pontos de R3 em R2!!!
---
A matriz de rotação gira um ponto em relação à origem do sistema. Então, se você quiser girar os pontos em relação à outro sistema de coordenadas, temos que transladar o ponto até a origem, girá-lo e transladá-lo de volta ao seu ponto original. Por isso a função de rotação têm os seguintes parâmetros:
- O ponto que você quer girar,
- O centro em que voce quer girar,
- 3 ângulos de rotação.
E assim giramos o ponto!
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Xp = X / Z
Yp = Y / Z,
onde X, Y e Z sao as coordenadas do ponto no R3 e Xp e Yp no R2.
Assim, se a origem do sistema esta no centro da tela, quanto maior o Z, mais próximo do centro estará o ponto. Mas assim o Z nao poder ser igual a 0 e, na rotação, é muito provavel que isso ocorra, mandando o ponto pro infinito. Entao mudamos a origem do sistema de coordenadas:
Xp = X / (P - Z)
Yp = Y / (P - Z)
Como essa escala é muito pequena em termos de Pixels, multiplicamos o ponto por um numero relativamente grande, ou, o proprio P:
Xp = P*X / (P - Z)
Yp = P*Y / (P - Z)
Se observarmos o comportamento de P, temos que:
Se P -> +Infinito entao,
Xp -> X. Logo, a projeção de um ponto
P(R3) = (a, b, c) é
P(R2) = (a, b)
para P muito grande.
Se P eh um numero nao muito grande em relaçao a Z, entao temos um efeito de perspectiva, pois o Z fara diferença.
O ultimo ajuste vem pelo fato de que a origem do Flash se localiza no canto superior esquerdo da tela, com X orientado à direita e Y para baixo, entao:
Xp = P*X / (P - Z) + TelaLargura/2
Yp = -(P*Y / (P - Z) + TelaAltura/2)
Assim projetamos os pontos de R3 em R2!!!
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A matriz de rotação gira um ponto em relação à origem do sistema. Então, se você quiser girar os pontos em relação à outro sistema de coordenadas, temos que transladar o ponto até a origem, girá-lo e transladá-lo de volta ao seu ponto original. Por isso a função de rotação têm os seguintes parâmetros:
- O ponto que você quer girar,
- O centro em que voce quer girar,
- 3 ângulos de rotação.
E assim giramos o ponto!
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